Integral de (x+3)^6 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + 3$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{6}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x + 3\right)^{7}}{7}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 3\right)^{6} = x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + 729$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 18 x^{5}\, dx = 18 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 135 x^{4}\, dx = 135 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $27 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 540 x^{3}\, dx = 540 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $135 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1215 x^{2}\, dx = 1215 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $405 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1458 x\, dx = 1458 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $729 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 729\, dx = 729 x$

      El resultado es: $\frac{x^{7}}{7} + 3 x^{6} + 27 x^{5} + 135 x^{4} + 405 x^{3} + 729 x^{2} + 729 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x + 3\right)^{7}}{7}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + 3\right)^{7}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 3\right)^{7}}{7}+ \mathrm{constant}$