Integral de x^5*cos(x^3) dx

1. que $u = x^{3}$.

   Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

   $\int \frac{u \cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int u \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \sin{\left(u \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{x^{3} \sin{\left(x^{3} \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(x^{3} \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \sin{\left(x^{3} \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(x^{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \sin{\left(x^{3} \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(x^{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$