Sr Examen

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Integral de 2*x/(x^2+2*x+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |      2*x        
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 2*x + 2   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}\, dx$$
Integral((2*x)/(x^2 + 2*x + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |     2*x        
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 2   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
                                  /-2 \    
                                  |---|    
    2*x          2*x + 2          \ 1 /    
------------ = ------------ + -------------
 2              2                     2    
x  + 2*x + 2   x  + 2*x + 2   (-x - 1)  + 1
o
  /                 
 |                  
 |     2*x          
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 2*x + 2     
 |                  
/                   
  
      /                     /               
     |                     |                
     |       1             |   2*x + 2      
- 2* | ------------- dx +  | ------------ dx
     |         2           |  2             
     | (-x - 1)  + 1       | x  + 2*x + 2   
     |                     |                
    /                     /                 
En integral
  /               
 |                
 |   2*x + 2      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 2   
 |                
/                 
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 2*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du = log(2 + u)
 | 2 + u                
 |                      
/                       
hacemos cambio inverso
  /                                   
 |                                    
 |   2*x + 2            /     2      \
 | ------------ dx = log\2 + x  + 2*x/
 |  2                                 
 | x  + 2*x + 2                       
 |                                    
/                                     
En integral
     /                
    |                 
    |       1         
-2* | ------------- dx
    |         2       
    | (-x - 1)  + 1   
    |                 
   /                  
hacemos el cambio
v = -1 - x
entonces
integral =
     /                      
    |                       
    |   1                   
-2* | ------ dv = -2*atan(v)
    |      2                
    | 1 + v                 
    |                       
   /                        
hacemos cambio inverso
     /                                 
    |                                  
    |       1                          
-2* | ------------- dx = -2*atan(1 + x)
    |         2                        
    | (-x - 1)  + 1                    
    |                                  
   /                                   
La solución:
                       /     2      \
C - 2*atan(1 + x) + log\2 + x  + 2*x/
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                       
 |                                                        
 |     2*x                                  /     2      \
 | ------------ dx = C - 2*atan(1 + x) + log\2 + x  + 2*x/
 |  2                                                     
 | x  + 2*x + 2                                           
 |                                                        
/                                                         
$$\int \frac{2 x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}\, dx = C + \log{\left(x^{2} + 2 x + 2 \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}$$
Gráfica
Respuesta [src]
pi                              
-- - log(2) - 2*atan(2) + log(5)
2                               
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(2 \right)} - \log{\left(2 \right)} + \frac{\pi}{2} + \log{\left(5 \right)}$$
=
=
pi                              
-- - log(2) - 2*atan(2) + log(5)
2                               
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(2 \right)} - \log{\left(2 \right)} + \frac{\pi}{2} + \log{\left(5 \right)}$$
pi/2 - log(2) - 2*atan(2) + log(5)
Respuesta numérica [src]
0.272789623080871
0.272789623080871

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.