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Resolución de integrales/ x^2-x/ x^2+2/ (x+1)/ 3x^2-x+1/(x+1)(x^2+2x+2)

Integral de 3x^2-x+1/(x+1)(x^2+2x+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                             
  /                             
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 |  /            2          \   
 |  |   2       x  + 2*x + 2|   
 |  |3*x  - x + ------------| dx
 |  \              x + 1    /   
 |                              
/                               
0
∫01((3x2−x)+(x2+2x)+2x+1) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(3 x^{2} - x\right) + \frac{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}{x + 1}\right)\, dx 
Integral(3*x^2 - x + (x^2 + 2*x + 2)/(x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2 dx=3∫x2 dx\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: x3x^{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

      El resultado es: x3−x22x^{3} - \frac{x^{2}}{2}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x2+2x)+2x+1=x+1+1x+1\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}{x + 1} = x + 1 + \frac{1}{x + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: x22+x+log⁡(x+1)\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x + 1 \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x2+2x)+2x+1=x2x+1+2xx+1+2x+1\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x + 1} + \frac{2 x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+1=x−1+1x+1\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          El resultado es: x22−x+log⁡(x+1)\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2xx+1 dx=2∫xx+1 dx\int \frac{2 x}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{x + 1}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            xx+1=1−1x+1\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

              1. que u=x+1u = x + 1.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

            El resultado es: x−log⁡(x+1)x - \log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2x−2log⁡(x+1)2 x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2x+1 dx=2∫1x+1 dx\int \frac{2}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x+1)2 \log{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: x22+x+2log⁡(x+1)−log⁡(x+1)\frac{x^{2}}{2} + x + 2 \log{\left(x + 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}

    El resultado es: x3+x+log⁡(x+1)x^{3} + x + \log{\left(x + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x3+x+log⁡(x+1)+constantx^{3} + x + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x3+x+log⁡(x+1)+constantx^{3} + x + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      
 |                                                       
 | /            2          \                             
 | |   2       x  + 2*x + 2|               3             
 | |3*x  - x + ------------| dx = C + x + x  + log(1 + x)
 | \              x + 1    /                             
 |                                                       
/
∫((3x2−x)+(x2+2x)+2x+1) dx=C+x3+x+log⁡(x+1)\int \left(\left(3 x^{2} - x\right) + \frac{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}{x + 1}\right)\, dx = C + x^{3} + x + \log{\left(x + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2 + log(2)
log⁡(2)+2\log{\left(2 \right)} + 2 
=
= 
2 + log(2)
log⁡(2)+2\log{\left(2 \right)} + 2 
2 + log(2)
Respuesta numérica [src] 
2.69314718055995
2.69314718055995

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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