Integral de 2dx/x(ln^7x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7}}{u}\, du = - 2 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7}}{u}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}^{7}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(u \right)}^{7}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(u \right)}^{7}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{7}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(u \right)}^{8}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}^{8}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(u \right)}^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}^{8}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{8}}{4}$

   Método #2

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 u^{7}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{7}\, du = 2 \int u^{7}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{8}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{8}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x \right)}^{8}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)}^{8}}{4}+ \mathrm{constant}$