Integral de ln^7x dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

   $\int u^{7} e^{u}\, du$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = u^{7}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 7 u^{6}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = 7 u^{6}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 42 u^{5}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = 42 u^{5}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 210 u^{4}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   4. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = 210 u^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 840 u^{3}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   5. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = 840 u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2520 u^{2}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2520 u^{2} e^{u}\, du = 2520 \int u^{2} e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2520 u^{2} e^{u} - 5040 u e^{u} + 5040 e^{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $x \log{\left(x \right)}^{7} - 7 x \log{\left(x \right)}^{6} + 42 x \log{\left(x \right)}^{5} - 210 x \log{\left(x \right)}^{4} + 840 x \log{\left(x \right)}^{3} - 2520 x \log{\left(x \right)}^{2} + 5040 x \log{\left(x \right)} - 5040 x$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(\log{\left(x \right)}^{7} - 7 \log{\left(x \right)}^{6} + 42 \log{\left(x \right)}^{5} - 210 \log{\left(x \right)}^{4} + 840 \log{\left(x \right)}^{3} - 2520 \log{\left(x \right)}^{2} + 5040 \log{\left(x \right)} - 5040\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(\log{\left(x \right)}^{7} - 7 \log{\left(x \right)}^{6} + 42 \log{\left(x \right)}^{5} - 210 \log{\left(x \right)}^{4} + 840 \log{\left(x \right)}^{3} - 2520 \log{\left(x \right)}^{2} + 5040 \log{\left(x \right)} - 5040\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(\log{\left(x \right)}^{7} - 7 \log{\left(x \right)}^{6} + 42 \log{\left(x \right)}^{5} - 210 \log{\left(x \right)}^{4} + 840 \log{\left(x \right)}^{3} - 2520 \log{\left(x \right)}^{2} + 5040 \log{\left(x \right)} - 5040\right)+ \mathrm{constant}$