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Resolución de integrales/ ln^7x/ xln^7x

Integral de xln^7x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo             
  /             
 |              
 |       7      
 |  x*log (x) dx
 |              
/               
E
∫e∞xlog⁡(x)7 dx\int\limits_{e}^{\infty} x \log{\left(x \right)}^{7}\, dx 
Integral(x*log(x)^7, (x, E, oo))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    ∫u7e2u du\int u^{7} e^{2 u}\, du

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=u7u{\left(u \right)} = u^{7} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

      Entonces du⁡(u)=7u6\operatorname{du}{\left(u \right)} = 7 u^{6}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=7u62u{\left(u \right)} = \frac{7 u^{6}}{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

      Entonces du⁡(u)=21u5\operatorname{du}{\left(u \right)} = 21 u^{5}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=21u52u{\left(u \right)} = \frac{21 u^{5}}{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

      Entonces du⁡(u)=105u42\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{105 u^{4}}{2}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    4. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=105u44u{\left(u \right)} = \frac{105 u^{4}}{4} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

      Entonces du⁡(u)=105u3\operatorname{du}{\left(u \right)} = 105 u^{3}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    5. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=105u32u{\left(u \right)} = \frac{105 u^{3}}{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

      Entonces du⁡(u)=315u22\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{315 u^{2}}{2}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫315u2e2u4 du=315∫u2e2u du4\int \frac{315 u^{2} e^{2 u}}{4}\, du = \frac{315 \int u^{2} e^{2 u}\, du}{4}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

        Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 315u2e2u8−315ue2u8+315e2u16\frac{315 u^{2} e^{2 u}}{8} - \frac{315 u e^{2 u}}{8} + \frac{315 e^{2 u}}{16}

    Si ahora sustituir uu más en:

    x2log⁡(x)72−7x2log⁡(x)64+21x2log⁡(x)54−105x2log⁡(x)48+105x2log⁡(x)34−315x2log⁡(x)28+315x2log⁡(x)8−315x216\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{7}}{2} - \frac{7 x^{2} \log{\left(x \right)}^{6}}{4} + \frac{21 x^{2} \log{\left(x \right)}^{5}}{4} - \frac{105 x^{2} \log{\left(x \right)}^{4}}{8} + \frac{105 x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}{4} - \frac{315 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{8} + \frac{315 x^{2} \log{\left(x \right)}}{8} - \frac{315 x^{2}}{16}

  2. Ahora simplificar:

    x2(8log⁡(x)7−28log⁡(x)6+84log⁡(x)5−210log⁡(x)4+420log⁡(x)3−630log⁡(x)2+630log⁡(x)−315)16\frac{x^{2} \left(8 \log{\left(x \right)}^{7} - 28 \log{\left(x \right)}^{6} + 84 \log{\left(x \right)}^{5} - 210 \log{\left(x \right)}^{4} + 420 \log{\left(x \right)}^{3} - 630 \log{\left(x \right)}^{2} + 630 \log{\left(x \right)} - 315\right)}{16}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(8log⁡(x)7−28log⁡(x)6+84log⁡(x)5−210log⁡(x)4+420log⁡(x)3−630log⁡(x)2+630log⁡(x)−315)16+constant\frac{x^{2} \left(8 \log{\left(x \right)}^{7} - 28 \log{\left(x \right)}^{6} + 84 \log{\left(x \right)}^{5} - 210 \log{\left(x \right)}^{4} + 420 \log{\left(x \right)}^{3} - 630 \log{\left(x \right)}^{2} + 630 \log{\left(x \right)} - 315\right)}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(8log⁡(x)7−28log⁡(x)6+84log⁡(x)5−210log⁡(x)4+420log⁡(x)3−630log⁡(x)2+630log⁡(x)−315)16+constant\frac{x^{2} \left(8 \log{\left(x \right)}^{7} - 28 \log{\left(x \right)}^{6} + 84 \log{\left(x \right)}^{5} - 210 \log{\left(x \right)}^{4} + 420 \log{\left(x \right)}^{3} - 630 \log{\left(x \right)}^{2} + 630 \log{\left(x \right)} - 315\right)}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                        
 |                         2    2    7           2    2           2    4         2    6          2    5           2    3           2       
 |      7             315*x    x *log (x)   315*x *log (x)   105*x *log (x)   7*x *log (x)   21*x *log (x)   105*x *log (x)   315*x *log(x)
 | x*log (x) dx = C - ------ + ---------- - -------------- - -------------- - ------------ + ------------- + -------------- + -------------
 |                      16         2              8                8               4               4               4                8      
/
∫xlog⁡(x)7 dx=C+x2log⁡(x)72−7x2log⁡(x)64+21x2log⁡(x)54−105x2log⁡(x)48+105x2log⁡(x)34−315x2log⁡(x)28+315x2log⁡(x)8−315x216\int x \log{\left(x \right)}^{7}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{7}}{2} - \frac{7 x^{2} \log{\left(x \right)}^{6}}{4} + \frac{21 x^{2} \log{\left(x \right)}^{5}}{4} - \frac{105 x^{2} \log{\left(x \right)}^{4}}{8} + \frac{105 x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}{4} - \frac{315 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{8} + \frac{315 x^{2} \log{\left(x \right)}}{8} - \frac{315 x^{2}}{16}
Simplificar
Gráfica
2.71902.72002.72102.72202.72302.72402.72502.72602.72702.7280-2525
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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