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Resolución de integrales/ sin3x/ (1+2sin3x)²

Integral de (1+2sin3x)² dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
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 |  (1 + 2*sin(3*x))  dx
 |                      
/                       
0
∫01(2sin⁡(3x)+1)2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 \sin{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2}\, dx 
Integral((1 + 2*sin(3*x))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2sin⁡(3x)+1)2=4sin⁡2(3x)+4sin⁡(3x)+1\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} = 4 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 4 \sin{\left(3 x \right)} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡2(3x) dx=4∫sin⁡2(3x) dx\int 4 \sin^{2}{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(3x)=12−cos⁡(6x)2\sin^{2}{\left(3 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(6x)2) dx=−∫cos⁡(6x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=6xu = 6 x.

              Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

              ∫cos⁡(u)6 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(6x)6\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(6x)12- \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}

          El resultado es: x2−sin⁡(6x)12\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x−sin⁡(6x)32 x - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡(3x) dx=4∫sin⁡(3x) dx\int 4 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(3x)3- \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 3x−sin⁡(6x)3−4cos⁡(3x)33 x - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2sin⁡(3x)+1)2=4sin⁡2(3x)+4sin⁡(3x)+1\left(2 \sin{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} = 4 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 4 \sin{\left(3 x \right)} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡2(3x) dx=4∫sin⁡2(3x) dx\int 4 \sin^{2}{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(3x)=12−cos⁡(6x)2\sin^{2}{\left(3 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(6x)2) dx=−∫cos⁡(6x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=6xu = 6 x.

              Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

              ∫cos⁡(u)6 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(6x)6\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(6x)12- \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}

          El resultado es: x2−sin⁡(6x)12\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x−sin⁡(6x)32 x - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡(3x) dx=4∫sin⁡(3x) dx\int 4 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(3x)3- \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 3x−sin⁡(6x)3−4cos⁡(3x)33 x - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x−sin⁡(6x)3−4cos⁡(3x)3+constant3 x - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x−sin⁡(6x)3−4cos⁡(3x)3+constant3 x - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      
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 |                 2                4*cos(3*x)   sin(6*x)
 | (1 + 2*sin(3*x))  dx = C + 3*x - ---------- - --------
 |                                      3           3    
/
∫(2sin⁡(3x)+1)2 dx=C+3x−sin⁡(6x)3−4cos⁡(3x)3\int \left(2 \sin{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2}\, dx = C + 3 x - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
7        2           2      4*cos(3)   2*cos(3)*sin(3)
- + 2*cos (3) + 2*sin (3) - -------- - ---------------
3                              3              3
2sin⁡2(3)−2sin⁡(3)cos⁡(3)3−4cos⁡(3)3+2cos⁡2(3)+732 \sin^{2}{\left(3 \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(3 \right)}}{3} + 2 \cos^{2}{\left(3 \right)} + \frac{7}{3} 
=
= 
7        2           2      4*cos(3)   2*cos(3)*sin(3)
- + 2*cos (3) + 2*sin (3) - -------- - ---------------
3                              3              3
2sin⁡2(3)−2sin⁡(3)cos⁡(3)3−4cos⁡(3)3+2cos⁡2(3)+732 \sin^{2}{\left(3 \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(3 \right)}}{3} + 2 \cos^{2}{\left(3 \right)} + \frac{7}{3} 
7/3 + 2*cos(3)^2 + 2*sin(3)^2 - 4*cos(3)/3 - 2*cos(3)*sin(3)/3
Respuesta numérica [src] 
5.74646182820024
5.74646182820024

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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