Integral de (x+1/x)(x^2+1/x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{6} + u^{4} + u^{2} + 1}{u^{5}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{6} + u^{4} + u^{2} + 1}{u^{5}}\, du = - \int \frac{u^{6} + u^{4} + u^{2} + 1}{u^{5}}\, du$

         1. que $u = u^{2}$.

            Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u^{3} + u^{2} + u + 1}{2 u^{3}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{3} + u^{2} + u + 1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{u^{3} + u^{2} + u + 1}{u^{3}}\, du}{2}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u^{3} + u^{2} + u + 1}{u^{3}} = 1 + \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}} + \frac{1}{u^{3}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                  El resultado es: $u + \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u} - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2} - \frac{1}{2 u} - \frac{1}{4 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{u^{2}}{2} + \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2 u^{2}} - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{1}{4 u^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + \frac{1}{x}\right) \left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) = x^{3} + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + \frac{1}{x}\right) \left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{x^{6} + x^{4} + x^{2} + 1}{x^{3}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{3} + u^{2} + u + 1}{2 u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3} + u^{2} + u + 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{3} + u^{2} + u + 1}{u^{2}}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{3} + u^{2} + u + 1}{u^{2}} = u + 1 + \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + u + \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2} - \frac{1}{2 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2 x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{1}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{1}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$