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Resolución de integrales/ x^2-9/ (x-2)/ (3x+6)/((x-2)(x^2-9))

Integral de (3x+6)/((x-2)(x^2-9)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |      3*x + 6        
 |  ---------------- dx
 |          / 2    \   
 |  (x - 2)*\x  - 9/   
 |                     
/                      
0
∫013x+6(x−2)(x2−9) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 6}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 9\right)}\, dx 
Integral((3*x + 6)/(((x - 2)*(x^2 - 9))), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x+6(x−2)(x2−9)=−110(x+3)−125(x−2)+52(x−3)\frac{3 x + 6}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 9\right)} = - \frac{1}{10 \left(x + 3\right)} - \frac{12}{5 \left(x - 2\right)} + \frac{5}{2 \left(x - 3\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−110(x+3)) dx=−∫1x+3 dx10\int \left(- \frac{1}{10 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{10}

        1. que u=x+3u = x + 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+3)10- \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−125(x−2)) dx=−12∫1x−2 dx5\int \left(- \frac{12}{5 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{12 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{5}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −12log⁡(x−2)5- \frac{12 \log{\left(x - 2 \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫52(x−3) dx=5∫1x−3 dx2\int \frac{5}{2 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{5 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{2}

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 5log⁡(x−3)2\frac{5 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}

      El resultado es: 5log⁡(x−3)2−12log⁡(x−2)5−log⁡(x+3)10\frac{5 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - \frac{12 \log{\left(x - 2 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x+6(x−2)(x2−9)=3x+6x3−2x2−9x+18\frac{3 x + 6}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 9\right)} = \frac{3 x + 6}{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      3x+6x3−2x2−9x+18=−110(x+3)−125(x−2)+52(x−3)\frac{3 x + 6}{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18} = - \frac{1}{10 \left(x + 3\right)} - \frac{12}{5 \left(x - 2\right)} + \frac{5}{2 \left(x - 3\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−110(x+3)) dx=−∫1x+3 dx10\int \left(- \frac{1}{10 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{10}

        1. que u=x+3u = x + 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+3)10- \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−125(x−2)) dx=−12∫1x−2 dx5\int \left(- \frac{12}{5 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{12 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{5}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −12log⁡(x−2)5- \frac{12 \log{\left(x - 2 \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫52(x−3) dx=5∫1x−3 dx2\int \frac{5}{2 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{5 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{2}

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 5log⁡(x−3)2\frac{5 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}

      El resultado es: 5log⁡(x−3)2−12log⁡(x−2)5−log⁡(x+3)10\frac{5 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - \frac{12 \log{\left(x - 2 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x+6(x−2)(x2−9)=3xx3−2x2−9x+18+6x3−2x2−9x+18\frac{3 x + 6}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 9\right)} = \frac{3 x}{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18} + \frac{6}{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xx3−2x2−9x+18 dx=3∫xx3−2x2−9x+18 dx\int \frac{3 x}{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18}\, dx = 3 \int \frac{x}{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx3−2x2−9x+18=−110(x+3)−25(x−2)+12(x−3)\frac{x}{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18} = - \frac{1}{10 \left(x + 3\right)} - \frac{2}{5 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 3\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−110(x+3)) dx=−∫1x+3 dx10\int \left(- \frac{1}{10 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{10}

            1. que u=x+3u = x + 3.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+3)10- \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−25(x−2)) dx=−2∫1x−2 dx5\int \left(- \frac{2}{5 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{5}

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x−2)5- \frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(x−3) dx=∫1x−3 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{2}

            1. que u=x−3u = x - 3.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−3)2\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{2}

          El resultado es: log⁡(x−3)2−2log⁡(x−2)5−log⁡(x+3)10\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{2} - \frac{2 \log{\left(x - 2 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10}

        Por lo tanto, el resultado es: 3log⁡(x−3)2−6log⁡(x−2)5−3log⁡(x+3)10\frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - \frac{6 \log{\left(x - 2 \right)}}{5} - \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{10}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6x3−2x2−9x+18 dx=6∫1x3−2x2−9x+18 dx\int \frac{6}{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18}\, dx = 6 \int \frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1x3−2x2−9x+18=130(x+3)−15(x−2)+16(x−3)\frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18} = \frac{1}{30 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{5 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{6 \left(x - 3\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫130(x+3) dx=∫1x+3 dx30\int \frac{1}{30 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{30}

            1. que u=x+3u = x + 3.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+3)30\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{30}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−15(x−2)) dx=−∫1x−2 dx5\int \left(- \frac{1}{5 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{5}

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−2)5- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫16(x−3) dx=∫1x−3 dx6\int \frac{1}{6 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{6}

            1. que u=x−3u = x - 3.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−3)6\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{6}

          El resultado es: log⁡(x−3)6−log⁡(x−2)5+log⁡(x+3)30\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{5} + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{30}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−3)−6log⁡(x−2)5+log⁡(x+3)5\log{\left(x - 3 \right)} - \frac{6 \log{\left(x - 2 \right)}}{5} + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{5}

      El resultado es: 5log⁡(x−3)2−12log⁡(x−2)5−log⁡(x+3)10\frac{5 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - \frac{12 \log{\left(x - 2 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10}

  2. Añadimos la constante de integración:

    5log⁡(x−3)2−12log⁡(x−2)5−log⁡(x+3)10+constant\frac{5 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - \frac{12 \log{\left(x - 2 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5log⁡(x−3)2−12log⁡(x−2)5−log⁡(x+3)10+constant\frac{5 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - \frac{12 \log{\left(x - 2 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                     
 |                                                                      
 |     3*x + 6               12*log(-2 + x)   log(3 + x)   5*log(-3 + x)
 | ---------------- dx = C - -------------- - ---------- + -------------
 |         / 2    \                5              10             2      
 | (x - 2)*\x  - 9/                                                     
 |                                                                      
/
∫3x+6(x−2)(x2−9) dx=C+5log⁡(x−3)2−12log⁡(x−2)5−log⁡(x+3)10\int \frac{3 x + 6}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 9\right)}\, dx = C + \frac{5 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - \frac{12 \log{\left(x - 2 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{10}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.02.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  12*log(3)   log(4)   49*log(2)
- --------- - ------ + ---------
      5         10         10
−12log⁡(3)5−log⁡(4)10+49log⁡(2)10- \frac{12 \log{\left(3 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(4 \right)}}{10} + \frac{49 \log{\left(2 \right)}}{10} 
=
= 
  12*log(3)   log(4)   49*log(2)
- --------- - ------ + ---------
      5         10         10
−12log⁡(3)5−log⁡(4)10+49log⁡(2)10- \frac{12 \log{\left(3 \right)}}{5} - \frac{\log{\left(4 \right)}}{10} + \frac{49 \log{\left(2 \right)}}{10} 
-12*log(3)/5 - log(4)/10 + 49*log(2)/10
Respuesta numérica [src] 
0.62112225582828
0.62112225582828

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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