Integral de exp(t)×sinat dx

Solución

Ha introducido [src]

  1               
  /               
 |                
 |   t            
 |  e *sin(a*t) dt
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} e^{t} \sin{\left(a t \right)}\, dt$$

Integral(exp(t)*sin(a*t), (t, 0, 1))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(t \right)} = \sin{\left(a t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = a \cos{\left(a t \right)}$ .

Para buscar $v{\left(t \right)}$ :
1. La integral de la función exponencial es la mesma.
  
  $\int e^{t}\, dt = e^{t}$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int a e^{t} \cos{\left(a t \right)}\, dt = a \int e^{t} \cos{\left(a t \right)}\, dt$
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(t \right)} = \cos{\left(a t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = - a \sin{\left(a t \right)}$ .
  
  Para buscar $v{\left(t \right)}$ :
  1. La integral de la función exponencial es la mesma.
    
    $\int e^{t}\, dt = e^{t}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- a e^{t} \sin{\left(a t \right)}\right)\, dt = - a \int e^{t} \sin{\left(a t \right)}\, dt$
  1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
    
    Pero la integral
    
    $\begin{cases} - i \left(\frac{t e^{t} \sinh{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2}\right) & \text{for}\: a = - i \\i \left(\frac{t e^{t} \sinh{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2}\right) & \text{for}\: a = i \\- \frac{a e^{t} \cos{\left(a t \right)}}{a^{2} + 1} + \frac{e^{t} \sin{\left(a t \right)}}{a^{2} + 1} & \text{otherwese} \end{cases}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- a \left(\begin{cases} - i \left(\frac{t e^{t} \sinh{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2}\right) & \text{for}\: a = - i \\i \left(\frac{t e^{t} \sinh{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2}\right) & \text{for}\: a = i \\- \frac{a e^{t} \cos{\left(a t \right)}}{a^{2} + 1} + \frac{e^{t} \sin{\left(a t \right)}}{a^{2} + 1} & \text{otherwese} \end{cases}\right)$
Por lo tanto, el resultado es: $a \left(a \left(\begin{cases} - i \left(\frac{t e^{t} \sinh{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2}\right) & \text{for}\: a = - i \\i \left(\frac{t e^{t} \sinh{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2}\right) & \text{for}\: a = i \\- \frac{a e^{t} \cos{\left(a t \right)}}{a^{2} + 1} + \frac{e^{t} \sin{\left(a t \right)}}{a^{2} + 1} & \text{otherwese} \end{cases}\right) + e^{t} \cos{\left(a t \right)}\right)$
Ahora simplificar:

$\begin{cases} \left(\frac{a \left(i a \left(t \sinh{\left(t \right)} - t \cosh{\left(t \right)} + \cosh{\left(t \right)}\right) - 2 \cos{\left(a t \right)}\right)}{2} + \sin{\left(a t \right)}\right) e^{t} & \text{for}\: a = - i \\- \left(\frac{a \left(i a \left(t \sinh{\left(t \right)} - t \cosh{\left(t \right)} + \cosh{\left(t \right)}\right) + 2 \cos{\left(a t \right)}\right)}{2} - \sin{\left(a t \right)}\right) e^{t} & \text{for}\: a = i \\\frac{\left(- a \cos{\left(a t \right)} + \sin{\left(a t \right)}\right) e^{t}}{a^{2} + 1} & \text{otherwese} \end{cases}$
Añadimos la constante de integración:

$\begin{cases} \left(\frac{a \left(i a \left(t \sinh{\left(t \right)} - t \cosh{\left(t \right)} + \cosh{\left(t \right)}\right) - 2 \cos{\left(a t \right)}\right)}{2} + \sin{\left(a t \right)}\right) e^{t} & \text{for}\: a = - i \\- \left(\frac{a \left(i a \left(t \sinh{\left(t \right)} - t \cosh{\left(t \right)} + \cosh{\left(t \right)}\right) + 2 \cos{\left(a t \right)}\right)}{2} - \sin{\left(a t \right)}\right) e^{t} & \text{for}\: a = i \\\frac{\left(- a \cos{\left(a t \right)} + \sin{\left(a t \right)}\right) e^{t}}{a^{2} + 1} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \left(\frac{a \left(i a \left(t \sinh{\left(t \right)} - t \cosh{\left(t \right)} + \cosh{\left(t \right)}\right) - 2 \cos{\left(a t \right)}\right)}{2} + \sin{\left(a t \right)}\right) e^{t} & \text{for}\: a = - i \\- \left(\frac{a \left(i a \left(t \sinh{\left(t \right)} - t \cosh{\left(t \right)} + \cosh{\left(t \right)}\right) + 2 \cos{\left(a t \right)}\right)}{2} - \sin{\left(a t \right)}\right) e^{t} & \text{for}\: a = i \\\frac{\left(- a \cos{\left(a t \right)} + \sin{\left(a t \right)}\right) e^{t}}{a^{2} + 1} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                        /  //   /         t      t                      t\            \              \
                                        |  ||   |cosh(t)*e    t*e *sinh(t)   t*cosh(t)*e |            |              |
                                        |  ||-I*|---------- + ------------ - ------------|  for a = -I|              |
                                        |  ||   \    2             2              2      /            |              |
  /                                     |  ||                                                         |              |
 |                                      |  ||  /         t      t                      t\             |              |
 |  t                    t              |  ||  |cosh(t)*e    t*e *sinh(t)   t*cosh(t)*e |             |             t|
 | e *sin(a*t) dt = C + e *sin(a*t) - a*|a*|

$$\int e^{t} \sin{\left(a t \right)}\, dt = C - a \left(a \left(\begin{cases} - i \left(\frac{t e^{t} \sinh{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2}\right) & \text{for}\: a = - i \\i \left(\frac{t e^{t} \sinh{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{t} \cosh{\left(t \right)}}{2}\right) & \text{for}\: a = i \\- \frac{a e^{t} \cos{\left(a t \right)}}{a^{2} + 1} + \frac{e^{t} \sin{\left(a t \right)}}{a^{2} + 1} & \text{otherwise} \end{cases}\right) + e^{t} \cos{\left(a t \right)}\right) + e^{t} \sin{\left(a t \right)}$$

Simplificar

Respuesta [src]

  a      E*sin(a)   E*a*cos(a)
------ + -------- - ----------
     2         2           2  
1 + a     1 + a       1 + a

$$- \frac{e a \cos{\left(a \right)}}{a^{2} + 1} + \frac{a}{a^{2} + 1} + \frac{e \sin{\left(a \right)}}{a^{2} + 1}$$

  a      E*sin(a)   E*a*cos(a)
------ + -------- - ----------
     2         2           2  
1 + a     1 + a       1 + a

$$- \frac{e a \cos{\left(a \right)}}{a^{2} + 1} + \frac{a}{a^{2} + 1} + \frac{e \sin{\left(a \right)}}{a^{2} + 1}$$

a/(1 + a^2) + E*sin(a)/(1 + a^2) - E*a*cos(a)/(1 + a^2)

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de exp(t)×sinat dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución