Integral de 2+3x/x^2(2+x^2) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{3 u + 6}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 u + 6}{u}\, du = \frac{\int \frac{3 u + 6}{u}\, du}{2}$

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{u + 6}{u}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u + 6}{u} = 1 + \frac{6}{u}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{6}{u}\, du = 6 \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(u \right)}$

                  El resultado es: $u + 6 \log{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $3 u + 6 \log{\left(3 u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u}{2} + 3 \log{\left(3 u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 x^{2}}{2} + 3 \log{\left(3 x^{2} \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{3 x}{x^{2}} \left(x^{2} + 2\right) = 3 x + \frac{6}{x}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{6}{x}\, dx = 6 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2} + 6 \log{\left(x \right)}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{3 x}{x^{2}} \left(x^{2} + 2\right) = \frac{3 x^{2} + 6}{x}$

      2. que $u = 3 x^{2}$.

         Luego que $du = 6 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u + 6}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u + 6}{u}\, du = \frac{\int \frac{u + 6}{u}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 6}{u} = 1 + \frac{6}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{6}{u}\, du = 6 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u + 6 \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} + 3 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 x^{2}}{2} + 3 \log{\left(3 x^{2} \right)}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   El resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 3 \log{\left(3 x^{2} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 3 \log{\left(3 x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 3 \log{\left(3 x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$