Integral de 12(3x+4)^4 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 12 \left(3 x + 4\right)^{4}\, dx = 12 \int \left(3 x + 4\right)^{4}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 3 x + 4$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{u^{4}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{15}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(3 x + 4\right)^{5}}{15}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(3 x + 4\right)^{4} = 81 x^{4} + 432 x^{3} + 864 x^{2} + 768 x + 256$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 81 x^{4}\, dx = 81 \int x^{4}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 x^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 432 x^{3}\, dx = 432 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $108 x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 864 x^{2}\, dx = 864 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $288 x^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 768 x\, dx = 768 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $384 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 256\, dx = 256 x$

         El resultado es: $\frac{81 x^{5}}{5} + 108 x^{4} + 288 x^{3} + 384 x^{2} + 256 x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \left(3 x + 4\right)^{5}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \left(3 x + 4\right)^{5}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \left(3 x + 4\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(3 x + 4\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$