Integral de 1/4*(-(4-x)^2+(4x-x^2)^2) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{- \left(4 - x\right)^{2} + \left(- x^{2} + 4 x\right)^{2}}{4}\, dx = \frac{\int \left(- \left(4 - x\right)^{2} + \left(- x^{2} + 4 x\right)^{2}\right)\, dx}{4}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \left(4 - x\right)^{2}\right)\, dx = - \int \left(4 - x\right)^{2}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 4 - x$.

               Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\left(4 - x\right)^{3}}{3}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(4 - x\right)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 8 x\right)\, dx = - 8 \int x\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 16\, dx = 16 x$

               El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 4 x^{2} + 16 x$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(4 - x\right)^{3}}{3}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(- x^{2} + 4 x\right)^{2} = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 8 x^{3}\right)\, dx = - 8 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16 x^{2}\, dx = 16 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + \frac{16 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{\left(4 - x\right)^{3}}{3}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{20} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{\left(4 - x\right)^{3}}{12}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{5}}{20} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{\left(x - 4\right)^{3}}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{5}}{20} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{\left(x - 4\right)^{3}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{5}}{20} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{\left(x - 4\right)^{3}}{12}+ \mathrm{constant}$