Integral de (1-x)(1-2x)(1-3x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 6 u^{3} - 11 u^{2} - 6 u - 1\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 u^{3}\right)\, du = - 6 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{4}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 11 u^{2}\right)\, du = - 11 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{11 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 u\right)\, du = - 6 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, du = - u$

         El resultado es: $- \frac{3 u^{4}}{2} - \frac{11 u^{3}}{3} - 3 u^{2} - u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{11 x^{3}}{3} - 3 x^{2} + x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - 2 x\right) \left(1 - x\right) \left(1 - 3 x\right) = - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 6 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 x^{3}\right)\, dx = - 6 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11 x^{2}\, dx = 11 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{11 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 x\right)\, dx = - 6 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $- \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{11 x^{3}}{3} - 3 x^{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(- 9 x^{3} + 22 x^{2} - 18 x + 6\right)}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(- 9 x^{3} + 22 x^{2} - 18 x + 6\right)}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(- 9 x^{3} + 22 x^{2} - 18 x + 6\right)}{6}+ \mathrm{constant}$