Integral de x^5/(x^3-8) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{3 u - 24}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{3 u - 24} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3 \left(u - 8\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{8}{3 \left(u - 8\right)}\, du = \frac{8 \int \frac{1}{u - 8}\, du}{3}$

            1. que $u = u - 8$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u - 8 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \log{\left(u - 8 \right)}}{3}$

         El resultado es: $\frac{u}{3} + \frac{8 \log{\left(u - 8 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{3}}{3} + \frac{8 \log{\left(x^{3} - 8 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{5}}{x^{3} - 8} = x^{2} + \frac{16 \left(x + 1\right)}{3 \left(x^{2} + 2 x + 4\right)} + \frac{8}{3 \left(x - 2\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{16 \left(x + 1\right)}{3 \left(x^{2} + 2 x + 4\right)}\, dx = \frac{16 \int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 4}\, dx}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 4}\, dx = \frac{\int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 4}\, dx}{2}$

            1. que $u = x^{2} + 2 x + 4$.

               Luego que $du = \left(2 x + 2\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \log{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{3 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{8 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{3}$

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \log{\left(x - 2 \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + \frac{8 \log{\left(x - 2 \right)}}{3} + \frac{8 \log{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} + \frac{8 \log{\left(x^{3} - 8 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{8 \log{\left(x^{3} - 8 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$