Integral de (2x+1)/((x^2)+3x+4)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{\left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 4\right)^{2}} = \frac{2 x + 1}{x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 16}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 16} = \frac{2 x}{x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 16} + \frac{1}{x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 16}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 16}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 16}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \frac{3 x + 8}{7 x^{2} + 21 x + 28} - \frac{6 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} x}{7} + \frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{49}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(3 x + 8\right)}{7 x^{2} + 21 x + 28} - \frac{12 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} x}{7} + \frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{49}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{2 x + 3}{7 x^{2} + 21 x + 28} + \frac{4 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} x}{7} + \frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{49}$

      El resultado es: $\frac{2 x + 3}{7 x^{2} + 21 x + 28} - \frac{2 \left(3 x + 8\right)}{7 x^{2} + 21 x + 28} - \frac{8 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} x}{7} + \frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{49}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 1}{\left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 4\right)^{2}} = \frac{2 x}{x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 16} + \frac{1}{x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 16}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 16}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 16}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \frac{3 x + 8}{7 x^{2} + 21 x + 28} - \frac{6 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} x}{7} + \frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{49}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(3 x + 8\right)}{7 x^{2} + 21 x + 28} - \frac{12 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} x}{7} + \frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{49}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{2 x + 3}{7 x^{2} + 21 x + 28} + \frac{4 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} x}{7} + \frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{49}$

      El resultado es: $\frac{2 x + 3}{7 x^{2} + 21 x + 28} - \frac{2 \left(3 x + 8\right)}{7 x^{2} + 21 x + 28} - \frac{8 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} x}{7} + \frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{49}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{28 x + 8 \sqrt{7} \left(x^{2} + 3 x + 4\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7} \left(2 x + 3\right)}{7} \right)} + 91}{49 x^{2} + 147 x + 196}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{28 x + 8 \sqrt{7} \left(x^{2} + 3 x + 4\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7} \left(2 x + 3\right)}{7} \right)} + 91}{49 x^{2} + 147 x + 196}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{28 x + 8 \sqrt{7} \left(x^{2} + 3 x + 4\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7} \left(2 x + 3\right)}{7} \right)} + 91}{49 x^{2} + 147 x + 196}+ \mathrm{constant}$