Integral de ln(y):√y dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(y \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dy}{y}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{\frac{u}{2}}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = \frac{u}{2}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{u}{2}}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 \int e^{\frac{u}{2}}\, du$

         1. que $u = \frac{u}{2}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{u}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{\frac{u}{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{y} \log{\left(y \right)} - 4 \sqrt{y}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(y \right)} = \log{\left(y \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sqrt{y}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = \frac{1}{y}$.

      Para buscar $v{\left(y \right)}$:

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy = 2 \sqrt{y}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2}{\sqrt{y}}\, dy = 2 \int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy$

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy = 2 \sqrt{y}$

      Por lo tanto, el resultado es: $4 \sqrt{y}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{y} \left(\log{\left(y \right)} - 2\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{y} \left(\log{\left(y \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{y} \left(\log{\left(y \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}$