Sr Examen

Integral de ln(y):√y dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  0          
  /          
 |           
 |  log(y)   
 |  ------ dy
 |    ___    
 |  \/ y     
 |           
/            
0            
00log(y)ydy\int\limits_{0}^{0} \frac{\log{\left(y \right)}}{\sqrt{y}}\, dy
Integral(log(y)/sqrt(y), (y, 0, 0))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(y)u = \log{\left(y \right)}.

      Luego que du=dyydu = \frac{dy}{y} y ponemos dudu:

      ueu2du\int u e^{\frac{u}{2}}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=eu2\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}.

        Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

          Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

          2eudu\int 2 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2eu22 e^{\frac{u}{2}}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2eu2du=2eu2du\int 2 e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 \int e^{\frac{u}{2}}\, du

        1. que u=u2u = \frac{u}{2}.

          Luego que du=du2du = \frac{du}{2} y ponemos 2du2 du:

          2eudu\int 2 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2eu22 e^{\frac{u}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 4eu24 e^{\frac{u}{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2ylog(y)4y2 \sqrt{y} \log{\left(y \right)} - 4 \sqrt{y}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(y)=log(y)u{\left(y \right)} = \log{\left(y \right)} y que dv(y)=1y\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sqrt{y}}.

      Entonces du(y)=1y\operatorname{du}{\left(y \right)} = \frac{1}{y}.

      Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

      1. Integral yny^{n} es yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        1ydy=2y\int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy = 2 \sqrt{y}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      2ydy=21ydy\int \frac{2}{\sqrt{y}}\, dy = 2 \int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy

      1. Integral yny^{n} es yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        1ydy=2y\int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy = 2 \sqrt{y}

      Por lo tanto, el resultado es: 4y4 \sqrt{y}

  2. Ahora simplificar:

    2y(log(y)2)2 \sqrt{y} \left(\log{\left(y \right)} - 2\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    2y(log(y)2)+constant2 \sqrt{y} \left(\log{\left(y \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}


Respuesta:

2y(log(y)2)+constant2 \sqrt{y} \left(\log{\left(y \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                        
 |                                         
 | log(y)              ___       ___       
 | ------ dy = C - 4*\/ y  + 2*\/ y *log(y)
 |   ___                                   
 | \/ y                                    
 |                                         
/                                          
log(y)ydy=C+2ylog(y)4y\int \frac{\log{\left(y \right)}}{\sqrt{y}}\, dy = C + 2 \sqrt{y} \log{\left(y \right)} - 4 \sqrt{y}
Respuesta [src]
0
00
=
=
0
00
0
Respuesta numérica [src]
0.0
0.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.