Sr Examen

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Integral de lnx^5 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  log (x) dx
 |            
/             
0             
01log(x)5dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(x \right)}^{5}\, dx
Integral(log(x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    u5eudu\int u^{5} e^{u}\, du

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=u5u{\left(u \right)} = u^{5} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

      Entonces du(u)=5u4\operatorname{du}{\left(u \right)} = 5 u^{4}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=5u4u{\left(u \right)} = 5 u^{4} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

      Entonces du(u)=20u3\operatorname{du}{\left(u \right)} = 20 u^{3}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=20u3u{\left(u \right)} = 20 u^{3} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

      Entonces du(u)=60u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 60 u^{2}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Ahora resolvemos podintegral.

    4. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=60u2u{\left(u \right)} = 60 u^{2} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

      Entonces du(u)=120u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 120 u.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Ahora resolvemos podintegral.

    5. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=120uu{\left(u \right)} = 120 u y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

      Entonces du(u)=120\operatorname{du}{\left(u \right)} = 120.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Ahora resolvemos podintegral.

    6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      120eudu=120eudu\int 120 e^{u}\, du = 120 \int e^{u}\, du

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Por lo tanto, el resultado es: 120eu120 e^{u}

    Si ahora sustituir uu más en:

    xlog(x)55xlog(x)4+20xlog(x)360xlog(x)2+120xlog(x)120xx \log{\left(x \right)}^{5} - 5 x \log{\left(x \right)}^{4} + 20 x \log{\left(x \right)}^{3} - 60 x \log{\left(x \right)}^{2} + 120 x \log{\left(x \right)} - 120 x

  2. Ahora simplificar:

    x(log(x)55log(x)4+20log(x)360log(x)2+120log(x)120)x \left(\log{\left(x \right)}^{5} - 5 \log{\left(x \right)}^{4} + 20 \log{\left(x \right)}^{3} - 60 \log{\left(x \right)}^{2} + 120 \log{\left(x \right)} - 120\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(log(x)55log(x)4+20log(x)360log(x)2+120log(x)120)+constantx \left(\log{\left(x \right)}^{5} - 5 \log{\left(x \right)}^{4} + 20 \log{\left(x \right)}^{3} - 60 \log{\left(x \right)}^{2} + 120 \log{\left(x \right)} - 120\right)+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x(log(x)55log(x)4+20log(x)360log(x)2+120log(x)120)+constantx \left(\log{\left(x \right)}^{5} - 5 \log{\left(x \right)}^{4} + 20 \log{\left(x \right)}^{3} - 60 \log{\left(x \right)}^{2} + 120 \log{\left(x \right)} - 120\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                             
 |                                                                                              
 |    5                          5              2             4              3                  
 | log (x) dx = C - 120*x + x*log (x) - 60*x*log (x) - 5*x*log (x) + 20*x*log (x) + 120*x*log(x)
 |                                                                                              
/                                                                                               
log(x)5dx=C+xlog(x)55xlog(x)4+20xlog(x)360xlog(x)2+120xlog(x)120x\int \log{\left(x \right)}^{5}\, dx = C + x \log{\left(x \right)}^{5} - 5 x \log{\left(x \right)}^{4} + 20 x \log{\left(x \right)}^{3} - 60 x \log{\left(x \right)}^{2} + 120 x \log{\left(x \right)} - 120 x
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-100000100000
Respuesta [src]
-120
120-120
=
=
-120
120-120
-120
Respuesta numérica [src]
-119.999999999986
-119.999999999986

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.