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Resolución de integrales/ x^2+2/ 2-3*x/ (2-3*x)/(x^2+2)

Integral de (2-3*x)/(x^2+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |  2 - 3*x   
 |  ------- dx
 |    2       
 |   x  + 2   
 |            
/             
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 - 3 x}{x^{2} + 2}\, dx$$ 
Integral((2 - 3*x)/(x^2 + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /          
 |           
 | 2 - 3*x   
 | ------- dx
 |   2       
 |  x  + 2   
 |           
/
Reescribimos la función subintegral
                  2*x                        
            3*------------         /2\       
               2                   |-|       
2 - 3*x       x  + 0*x + 2         \2/       
------- = - -------------- + ----------------
  2               2                     2    
 x  + 2                      /   ___   \     
                             |-\/ 2    |     
                             |-------*x|  + 1
                             \   2     /
o
  /            
 |             
 | 2 - 3*x     
 | ------- dx  
 |   2        =
 |  x  + 2     
 |             
/              
  
      /                                        
     |                                         
     |     2*x                                 
  3* | ------------ dx                         
     |  2                                      
     | x  + 0*x + 2        /                   
     |                    |                    
    /                     |        1           
- -------------------- +  | ---------------- dx
           2              |            2       
                          | /   ___   \        
                          | |-\/ 2    |        
                          | |-------*x|  + 1   
                          | \   2     /        
                          |                    
                         /
En integral
     /               
    |                
    |     2*x        
-3* | ------------ dx
    |  2             
    | x  + 0*x + 2   
    |                
   /                 
---------------------
          2
hacemos el cambio
     2
u = x
entonces
integral =
     /                        
    |                         
    |   1                     
-3* | ----- du                
    | 2 + u                   
    |                         
   /             -3*log(2 + u)
-------------- = -------------
      2                2
hacemos cambio inverso
     /                                
    |                                 
    |     2*x                         
-3* | ------------ dx                 
    |  2                              
    | x  + 0*x + 2                    
    |                         /     2\
   /                    -3*log\2 + x /
--------------------- = --------------
          2                   2
En integral
  /                   
 |                    
 |        1           
 | ---------------- dx
 |            2       
 | /   ___   \        
 | |-\/ 2    |        
 | |-------*x|  + 1   
 | \   2     /        
 |                    
/
hacemos el cambio
         ___ 
    -x*\/ 2  
v = ---------
        2
entonces
integral =
  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv = atan(v)
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/
hacemos cambio inverso
  /                                         
 |                                 /    ___\
 |        1                ___     |x*\/ 2 |
 | ---------------- dx = \/ 2 *atan|-------|
 |            2                    \   2   /
 | /   ___   \                              
 | |-\/ 2    |                              
 | |-------*x|  + 1                         
 | \   2     /                              
 |                                          
/
La solución:
         /     2\             /    ___\
    3*log\2 + x /     ___     |x*\/ 2 |
C - ------------- + \/ 2 *atan|-------|
          2                   \   2   /
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                       /     2\             /    ___\
 | 2 - 3*x          3*log\2 + x /     ___     |x*\/ 2 |
 | ------- dx = C - ------------- + \/ 2 *atan|-------|
 |   2                    2                   \   2   /
 |  x  + 2                                             
 |                                                     
/
$$\int \frac{2 - 3 x}{x^{2} + 2}\, dx = C - \frac{3 \log{\left(x^{2} + 2 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                  /  ___\
  3*log(3)   3*log(2)     ___     |\/ 2 |
- -------- + -------- + \/ 2 *atan|-----|
     2          2                 \  2  /
$$- \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{2}$$ 
=
= 
                                  /  ___\
  3*log(3)   3*log(2)     ___     |\/ 2 |
- -------- + -------- + \/ 2 *atan|-----|
     2          2                 \  2  /
$$- \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \frac{3 \log{\left(2 \right)}}{2}$$ 
-3*log(3)/2 + 3*log(2)/2 + sqrt(2)*atan(sqrt(2)/2)
Respuesta numérica [src] 
0.262222089204857
0.262222089204857

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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