Integral de (x+y)² dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + y$.

      Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x + y\right)^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + y\right)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int x^{2}\, dy = x^{2} y$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x y\, dy = 2 x \int y\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x y^{2}$

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

      El resultado es: $x^{2} y + x y^{2} + \frac{y^{3}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + y\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + y\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$