Integral de cosec(2x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\csc{\left(2 x \right)} = \frac{\cot{\left(2 x \right)} \csc{\left(2 x \right)} + \csc^{2}{\left(2 x \right)}}{\cot{\left(2 x \right)} + \csc{\left(2 x \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cot{\left(2 x \right)} + \csc{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = \left(- 2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \cot{\left(2 x \right)} \csc{\left(2 x \right)} - 2\right) dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\cot{\left(2 x \right)} + \csc{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\csc{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \csc{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \csc{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\csc{\left(u \right)} = \frac{\cot{\left(u \right)} \csc{\left(u \right)} + \csc^{2}{\left(u \right)}}{\cot{\left(u \right)} + \csc{\left(u \right)}}$

         2. que $u = \cot{\left(u \right)} + \csc{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(u \right)} - \cot{\left(u \right)} \csc{\left(u \right)} - 1\right) du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cot{\left(u \right)} + \csc{\left(u \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cot{\left(u \right)} + \csc{\left(u \right)} \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\cot{\left(2 x \right)} + \csc{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{\log{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{2}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$