Integral de sec(2x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sec{\left(2 x \right)} = \frac{\tan{\left(2 x \right)} \sec{\left(2 x \right)} + \sec^{2}{\left(2 x \right)}}{\tan{\left(2 x \right)} + \sec{\left(2 x \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \tan{\left(2 x \right)} + \sec{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = \left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \tan{\left(2 x \right)} \sec{\left(2 x \right)} + 2\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\tan{\left(2 x \right)} + \sec{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sec{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sec{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sec{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sec{\left(u \right)} = \frac{\tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} + \sec^{2}{\left(u \right)}}{\tan{\left(u \right)} + \sec{\left(u \right)}}$

         2. que $u = \tan{\left(u \right)} + \sec{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(u \right)} + \tan{\left(u \right)} \sec{\left(u \right)} + 1\right) du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(\tan{\left(u \right)} + \sec{\left(u \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\tan{\left(u \right)} + \sec{\left(u \right)} \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\tan{\left(2 x \right)} + \sec{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\tan{\left(2 x \right)} + \sec{\left(2 x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\tan{\left(2 x \right)} + \sec{\left(2 x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$