Integral de x(cosx) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral del coseno es seno:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del seno es un coseno menos:

   $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$