Integral de 1/(2+3sqrt(2x+3)) dx

1. que $u = \sqrt{2 x + 3}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x + 3}}$ y ponemos $du$:

   $\int \frac{u}{3 u + 2}\, du$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{u}{3 u + 2} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3 \left(3 u + 2\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{3 \left(3 u + 2\right)}\right)\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{3 u + 2}\, du}{3}$

         1. que $u = 3 u + 2$.

            Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(3 u + 2 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(3 u + 2 \right)}}{9}$

      El resultado es: $\frac{u}{3} - \frac{2 \log{\left(3 u + 2 \right)}}{9}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\sqrt{2 x + 3}}{3} - \frac{2 \log{\left(3 \sqrt{2 x + 3} + 2 \right)}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2 x + 3}}{3} - \frac{2 \log{\left(3 \sqrt{2 x + 3} + 2 \right)}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2 x + 3}}{3} - \frac{2 \log{\left(3 \sqrt{2 x + 3} + 2 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2 x + 3}}{3} - \frac{2 \log{\left(3 \sqrt{2 x + 3} + 2 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$