Integral de e^(x)*(x+n)^(2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $e^{x} \left(n + x\right)^{2} = n^{2} e^{x} + 2 n x e^{x} + x^{2} e^{x}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int n^{2} e^{x}\, dx = n^{2} \int e^{x}\, dx$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $n^{2} e^{x}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 n x e^{x}\, dx = 2 n \int x e^{x}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 n \left(x e^{x} - e^{x}\right)$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = 2 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 e^{x}\, dx = 2 \int e^{x}\, dx$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{x}$

   El resultado es: $n^{2} e^{x} + 2 n \left(x e^{x} - e^{x}\right) + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

3. Ahora simplificar:

   $\left(n^{2} + 2 n \left(x - 1\right) + x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\left(n^{2} + 2 n \left(x - 1\right) + x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(n^{2} + 2 n \left(x - 1\right) + x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$