Integral de 6/((2+4x)^6)-5*((3x+7)^7) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 5 \left(3 x + 7\right)^{7}\right)\, dx = - 5 \int \left(3 x + 7\right)^{7}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 3 x + 7$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{u^{7}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{7}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{8}}{24}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(3 x + 7\right)^{8}}{24}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(3 x + 7\right)^{7} = 2187 x^{7} + 35721 x^{6} + 250047 x^{5} + 972405 x^{4} + 2268945 x^{3} + 3176523 x^{2} + 2470629 x + 823543$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2187 x^{7}\, dx = 2187 \int x^{7}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2187 x^{8}}{8}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 35721 x^{6}\, dx = 35721 \int x^{6}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $5103 x^{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 250047 x^{5}\, dx = 250047 \int x^{5}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{83349 x^{6}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 972405 x^{4}\, dx = 972405 \int x^{4}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $194481 x^{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2268945 x^{3}\, dx = 2268945 \int x^{3}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2268945 x^{4}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3176523 x^{2}\, dx = 3176523 \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $1058841 x^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2470629 x\, dx = 2470629 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2470629 x^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 823543\, dx = 823543 x$

            El resultado es: $\frac{2187 x^{8}}{8} + 5103 x^{7} + \frac{83349 x^{6}}{2} + 194481 x^{5} + \frac{2268945 x^{4}}{4} + 1058841 x^{3} + \frac{2470629 x^{2}}{2} + 823543 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \left(3 x + 7\right)^{8}}{24}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{6}{\left(4 x + 2\right)^{6}}\, dx = 6 \int \frac{1}{\left(4 x + 2\right)^{6}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(4 x + 2\right)^{6}} = \frac{1}{64 \left(2 x + 1\right)^{6}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{64 \left(2 x + 1\right)^{6}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{6}}\, dx}{64}$

         1. que $u = 2 x + 1$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u^{6}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{6}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{10 u^{5}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{10 \left(2 x + 1\right)^{5}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{640 \left(2 x + 1\right)^{5}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{320 \left(2 x + 1\right)^{5}}$

   El resultado es: $- \frac{5 \left(3 x + 7\right)^{8}}{24} - \frac{3}{320 \left(2 x + 1\right)^{5}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{5 \left(3 x + 7\right)^{8}}{24} - \frac{3}{320 \left(2 x + 1\right)^{5}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{5 \left(3 x + 7\right)^{8}}{24} - \frac{3}{320 \left(2 x + 1\right)^{5}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{5 \left(3 x + 7\right)^{8}}{24} - \frac{3}{320 \left(2 x + 1\right)^{5}}+ \mathrm{constant}$