Integral de ((ln(5-4x))^(1/2))/(5-4x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 - 4 x$.

      Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(u \right)}}}{4 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{\log{\left(u \right)}}}{u}\, du = - \frac{\int \frac{\sqrt{\log{\left(u \right)}}}{u}\, du}{4}$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \log{\left(u \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}^{\frac{3}{2}}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(5 - 4 x \right)}^{\frac{3}{2}}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{\log{\left(5 - 4 x \right)}}}{5 - 4 x} = - \frac{\sqrt{\log{\left(5 - 4 x \right)}}}{4 x - 5}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(5 - 4 x \right)}}}{4 x - 5}\right)\, dx = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(5 - 4 x \right)}}}{4 x - 5}\, dx$

      1. que $u = 4 x - 5$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\sqrt{\log{\left(- u \right)}}}{4 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt{\log{\left(- u \right)}}}{u}\, du = \frac{\int \frac{\sqrt{\log{\left(- u \right)}}}{u}\, du}{4}$

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)}}}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\sqrt{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du$

                  1. que $u = \log{\left(- \frac{1}{u} \right)}$.

                     Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{2 \log{\left(- \frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(- \frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{2 \log{\left(- u \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(- u \right)}^{\frac{3}{2}}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(5 - 4 x \right)}^{\frac{3}{2}}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(5 - 4 x \right)}^{\frac{3}{2}}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(5 - 4 x \right)}^{\frac{3}{2}}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(5 - 4 x \right)}^{\frac{3}{2}}}{6}+ \mathrm{constant}$