Integral de e^(2x)/(e^(4x)-1)^(1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{2 x}$.

      Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{2 \sqrt{u^{2} - 1}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du}{2}$

         InverseHyperbolicRule(func=acosh, context=1/sqrt(_u**2 - 1), symbol=_u)

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{acosh}{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\operatorname{acosh}{\left(e^{2 x} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{e^{u}}{2 \sqrt{e^{2 u} - 1}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{u}}{\sqrt{e^{2 u} - 1}}\, du = \frac{\int \frac{e^{u}}{\sqrt{e^{2 u} - 1}}\, du}{2}$

         1. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du$

            InverseHyperbolicRule(func=acosh, context=1/sqrt(_u**2 - 1), symbol=_u)

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\operatorname{acosh}{\left(e^{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{acosh}{\left(e^{u} \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\operatorname{acosh}{\left(e^{2 x} \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\operatorname{acosh}{\left(e^{2 x} \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\operatorname{acosh}{\left(e^{2 x} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\operatorname{acosh}{\left(e^{2 x} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$