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Resolución de integrales/ Cos(2x)/ (1+Cos(2x))/2

Integral de (1+Cos(2x))/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  p                
  /                
 |                 
 |  1 + cos(2*x)   
 |  ------------ dx
 |       2         
 |                 
/                  
-p
∫−ppcos⁡(2x)+12 dx\int\limits_{- p}^{p} \frac{\cos{\left(2 x \right)} + 1}{2}\, dx 
Integral((1 + cos(2*x))/2, (x, -p, p))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫cos⁡(2x)+12 dx=∫(cos⁡(2x)+1) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)} + 1}{2}\, dx = \frac{\int \left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)\, dx}{2}

    1. Integramos término a término:

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: x+sin⁡(2x)2x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

    Por lo tanto, el resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2+sin⁡(2x)4+constant\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2+sin⁡(2x)4+constant\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                  
 |                                   
 | 1 + cos(2*x)          x   sin(2*x)
 | ------------ dx = C + - + --------
 |      2                2      4    
 |                                   
/
∫cos⁡(2x)+12 dx=C+x2+sin⁡(2x)4\int \frac{\cos{\left(2 x \right)} + 1}{2}\, dx = C + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Respuesta [src] 
    sin(2*p)
p + --------
       2
p+sin⁡(2p)2p + \frac{\sin{\left(2 p \right)}}{2} 
=
= 
    sin(2*p)
p + --------
       2
p+sin⁡(2p)2p + \frac{\sin{\left(2 p \right)}}{2} 
p + sin(2*p)/2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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