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Resolución de integrales/ x*a*sin(x/a)

Integral de x*a*sin(x/a) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |         /x\   
 |  x*a*sin|-| dx
 |         \a/   
 |               
/                
0
∫01axsin⁡(xa) dx\int\limits_{0}^{1} a x \sin{\left(\frac{x}{a} \right)}\, dx 
Integral((x*a)*sin(x/a), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=axu{\left(x \right)} = a x y que dv⁡(x)=sin⁡(xa)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{a} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=a\operatorname{du}{\left(x \right)} = a.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=xau = \frac{x}{a}.

      Luego que du=dxadu = \frac{dx}{a} y ponemos adua du:

      ∫asin⁡(u) du\int a \sin{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=a∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = a \int \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −acos⁡(u)- a \cos{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −acos⁡(xa)- a \cos{\left(\frac{x}{a} \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−a2cos⁡(xa)) dx=−a2∫cos⁡(xa) dx\int \left(- a^{2} \cos{\left(\frac{x}{a} \right)}\right)\, dx = - a^{2} \int \cos{\left(\frac{x}{a} \right)}\, dx

    1. que u=xau = \frac{x}{a}.

      Luego que du=dxadu = \frac{dx}{a} y ponemos adua du:

      ∫acos⁡(u) du\int a \cos{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=a∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = a \int \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(u)a \sin{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      asin⁡(xa)a \sin{\left(\frac{x}{a} \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −a3sin⁡(xa)- a^{3} \sin{\left(\frac{x}{a} \right)}

  3. Ahora simplificar:

    a2(asin⁡(xa)−xcos⁡(xa))a^{2} \left(a \sin{\left(\frac{x}{a} \right)} - x \cos{\left(\frac{x}{a} \right)}\right)

  4. Añadimos la constante de integración:

    a2(asin⁡(xa)−xcos⁡(xa))+constanta^{2} \left(a \sin{\left(\frac{x}{a} \right)} - x \cos{\left(\frac{x}{a} \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

a2(asin⁡(xa)−xcos⁡(xa))+constanta^{2} \left(a \sin{\left(\frac{x}{a} \right)} - x \cos{\left(\frac{x}{a} \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                                            
 |        /x\           3    /x\      2    /x\
 | x*a*sin|-| dx = C + a *sin|-| - x*a *cos|-|
 |        \a/                \a/           \a/
 |                                            
/
∫axsin⁡(xa) dx=C+a3sin⁡(xa)−a2xcos⁡(xa)\int a x \sin{\left(\frac{x}{a} \right)}\, dx = C + a^{3} \sin{\left(\frac{x}{a} \right)} - a^{2} x \cos{\left(\frac{x}{a} \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
  / 2    /1\        /1\\
a*|a *sin|-| - a*cos|-||
  \      \a/        \a//
a(a2sin⁡(1a)−acos⁡(1a))a \left(a^{2} \sin{\left(\frac{1}{a} \right)} - a \cos{\left(\frac{1}{a} \right)}\right) 
=
= 
  / 2    /1\        /1\\
a*|a *sin|-| - a*cos|-||
  \      \a/        \a//
a(a2sin⁡(1a)−acos⁡(1a))a \left(a^{2} \sin{\left(\frac{1}{a} \right)} - a \cos{\left(\frac{1}{a} \right)}\right) 
a*(a^2*sin(1/a) - a*cos(1/a))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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