Integral de x/(1+x^2)^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{2 u \sqrt{u + 1} + 2 \sqrt{u + 1}}\, du$

      1. que $u = \sqrt{u + 1}$.

         Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u + 1}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{\sqrt{u + 1}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{2 u \sqrt{u + 1} + 2 \sqrt{u + 1}}\, du$

      1. que $u = \sqrt{u + 1}$.

         Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u + 1}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{\sqrt{u + 1}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}$