Integral de csc^4(4x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\csc^{4}{\left(4 x \right)} = \left(\cot^{2}{\left(4 x \right)} + 1\right) \csc^{2}{\left(4 x \right)}$

2. que $u = \cot{\left(4 x \right)}$.

   Luego que $du = \left(- 4 \cot^{2}{\left(4 x \right)} - 4\right) dx$ y ponemos $du$:

   $\int \left(- \frac{u^{2}}{4} - \frac{1}{4}\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{12}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{1}{4}\right)\, du = - \frac{u}{4}$

      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{12} - \frac{u}{4}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{\cot^{3}{\left(4 x \right)}}{12} - \frac{\cot{\left(4 x \right)}}{4}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(3 + \frac{1}{\tan^{2}{\left(4 x \right)}}\right) \cot{\left(4 x \right)}}{12}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(3 + \frac{1}{\tan^{2}{\left(4 x \right)}}\right) \cot{\left(4 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(3 + \frac{1}{\tan^{2}{\left(4 x \right)}}\right) \cot{\left(4 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$