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Resolución de integrales/ (x-5)/ (x-5)*sin(2x/5)

Integral de (x-5)*sin(2x/5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  5                    
  /                    
 |                     
 |             /2*x\   
 |  (x - 5)*sin|---| dx
 |             \ 5 /   
 |                     
/                      
3
∫35(x−5)sin⁡(2x5) dx\int\limits_{3}^{5} \left(x - 5\right) \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}\, dx 
Integral((x - 5)*sin((2*x)/5), (x, 3, 5))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−5)sin⁡(2x5)=xsin⁡(2x5)−5sin⁡(2x5)\left(x - 5\right) \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)} = x \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)} - 5 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(2x5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=2x5u = \frac{2 x}{5}.

          Luego que du=2dx5du = \frac{2 dx}{5} y ponemos 5du2\frac{5 du}{2}:

          ∫5sin⁡(u)2 du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)2- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −5cos⁡(2x5)2- \frac{5 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5cos⁡(2x5)2) dx=−5∫cos⁡(2x5) dx2\int \left(- \frac{5 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{5 \int \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2x5u = \frac{2 x}{5}.

          Luego que du=2dx5du = \frac{2 dx}{5} y ponemos 5du2\frac{5 du}{2}:

          ∫5cos⁡(u)2 du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)2\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          5sin⁡(2x5)2\frac{5 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −25sin⁡(2x5)4- \frac{25 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5sin⁡(2x5)) dx=−5∫sin⁡(2x5) dx\int \left(- 5 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}\right)\, dx = - 5 \int \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}\, dx

        1. que u=2x5u = \frac{2 x}{5}.

          Luego que du=2dx5du = \frac{2 dx}{5} y ponemos 5du2\frac{5 du}{2}:

          ∫5sin⁡(u)2 du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)2- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −5cos⁡(2x5)2- \frac{5 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 25cos⁡(2x5)2\frac{25 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

      El resultado es: −5xcos⁡(2x5)2+25sin⁡(2x5)4+25cos⁡(2x5)2- \frac{5 x \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2} + \frac{25 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{4} + \frac{25 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x−5u{\left(x \right)} = x - 5 y que dv⁡(x)=sin⁡(2x5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2x5u = \frac{2 x}{5}.

        Luego que du=2dx5du = \frac{2 dx}{5} y ponemos 5du2\frac{5 du}{2}:

        ∫5sin⁡(u)2 du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)2- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −5cos⁡(2x5)2- \frac{5 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−5cos⁡(2x5)2) dx=−5∫cos⁡(2x5) dx2\int \left(- \frac{5 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{5 \int \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2x5u = \frac{2 x}{5}.

        Luego que du=2dx5du = \frac{2 dx}{5} y ponemos 5du2\frac{5 du}{2}:

        ∫5cos⁡(u)2 du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)2\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        5sin⁡(2x5)2\frac{5 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −25sin⁡(2x5)4- \frac{25 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−5)sin⁡(2x5)=xsin⁡(2x5)−5sin⁡(2x5)\left(x - 5\right) \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)} = x \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)} - 5 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(2x5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=2x5u = \frac{2 x}{5}.

          Luego que du=2dx5du = \frac{2 dx}{5} y ponemos 5du2\frac{5 du}{2}:

          ∫5sin⁡(u)2 du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)2- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −5cos⁡(2x5)2- \frac{5 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5cos⁡(2x5)2) dx=−5∫cos⁡(2x5) dx2\int \left(- \frac{5 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{5 \int \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2x5u = \frac{2 x}{5}.

          Luego que du=2dx5du = \frac{2 dx}{5} y ponemos 5du2\frac{5 du}{2}:

          ∫5cos⁡(u)2 du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)2\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          5sin⁡(2x5)2\frac{5 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −25sin⁡(2x5)4- \frac{25 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5sin⁡(2x5)) dx=−5∫sin⁡(2x5) dx\int \left(- 5 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}\right)\, dx = - 5 \int \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}\, dx

        1. que u=2x5u = \frac{2 x}{5}.

          Luego que du=2dx5du = \frac{2 dx}{5} y ponemos 5du2\frac{5 du}{2}:

          ∫5sin⁡(u)2 du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)2- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −5cos⁡(2x5)2- \frac{5 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 25cos⁡(2x5)2\frac{25 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

      El resultado es: −5xcos⁡(2x5)2+25sin⁡(2x5)4+25cos⁡(2x5)2- \frac{5 x \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2} + \frac{25 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{4} + \frac{25 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −5xcos⁡(2x5)2+25sin⁡(2x5)4+25cos⁡(2x5)2+constant- \frac{5 x \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2} + \frac{25 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{4} + \frac{25 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−5xcos⁡(2x5)2+25sin⁡(2x5)4+25cos⁡(2x5)2+constant- \frac{5 x \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2} + \frac{25 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{4} + \frac{25 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                /2*x\         /2*x\          /2*x\
 |                           25*cos|---|   25*sin|---|   5*x*cos|---|
 |            /2*x\                \ 5 /         \ 5 /          \ 5 /
 | (x - 5)*sin|---| dx = C + ----------- + ----------- - ------------
 |            \ 5 /               2             4             2      
 |                                                                   
/
∫(x−5)sin⁡(2x5) dx=C−5xcos⁡(2x5)2+25sin⁡(2x5)4+25cos⁡(2x5)2\int \left(x - 5\right) \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}\, dx = C - \frac{5 x \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2} + \frac{25 \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{4} + \frac{25 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
3.05.03.23.43.63.84.04.24.44.64.8-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
              25*sin(6/5)   25*sin(2)
-5*cos(6/5) - ----------- + ---------
                   4            4
−25sin⁡(65)4−5cos⁡(65)+25sin⁡(2)4- \frac{25 \sin{\left(\frac{6}{5} \right)}}{4} - 5 \cos{\left(\frac{6}{5} \right)} + \frac{25 \sin{\left(2 \right)}}{4} 
=
= 
              25*sin(6/5)   25*sin(2)
-5*cos(6/5) - ----------- + ---------
                   4            4
−25sin⁡(65)4−5cos⁡(65)+25sin⁡(2)4- \frac{25 \sin{\left(\frac{6}{5} \right)}}{4} - 5 \cos{\left(\frac{6}{5} \right)} + \frac{25 \sin{\left(2 \right)}}{4} 
-5*cos(6/5) - 25*sin(6/5)/4 + 25*sin(2)/4
Respuesta numérica [src] 
-1.95392414201802
-1.95392414201802

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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