Integral de (x+y^2)/(x^2+y^2)^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x + y^{2}}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + y^{2}}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}} = \frac{x}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \frac{y^{2}}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

   3. Integramos término a término:

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{2 u \sqrt{u + y^{2}} + 2 y^{2} \sqrt{u + y^{2}}}\, du$

         1. que $u = \sqrt{u + y^{2}}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u + y^{2}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{\sqrt{u + y^{2}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{y^{2}}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx = y^{2} \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $y^{2} \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx$

      El resultado es: $y^{2} \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \frac{y^{2}}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{2 u \sqrt{u + y^{2}} + 2 y^{2} \sqrt{u + y^{2}}}\, du$

         1. que $u = \sqrt{u + y^{2}}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u + y^{2}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{\sqrt{u + y^{2}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{y^{2}}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx = y^{2} \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $y^{2} \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx$

      El resultado es: $y^{2} \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x}{y \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{y \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{y \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}+ \mathrm{constant}$