Sr Examen

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Integral de (2-x)/(x^2-x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1              
  /              
 |               
 |    2 - x      
 |  ---------- dx
 |   2           
 |  x  - x + 1   
 |               
/                
0                
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 - x}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\, dx$$
Integral((2 - x)/(x^2 - x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /             
 |              
 |   2 - x      
 | ---------- dx
 |  2           
 | x  - x + 1   
 |              
/               
Reescribimos la función subintegral
               / 2*x - 1  \                            
               |----------|            /  3  \         
               | 2        |            |-----|         
  2 - x        \x  - x + 1/            \2*3/4/         
---------- = - ------------ + -------------------------
 2                  2                             2    
x  - x + 1                    /     ___       ___\     
                              |-2*\/ 3      \/ 3 |     
                              |--------*x + -----|  + 1
                              \   3           3  /     
o
  /               
 |                
 |   2 - x        
 | ---------- dx  
 |  2            =
 | x  - x + 1     
 |                
/                 
  
                                      /             
                                     |              
                                     |  2*x - 1     
                                     | ---------- dx
                                     |  2           
    /                                | x  - x + 1   
   |                                 |              
   |             1                  /               
2* | ------------------------- dx - ----------------
   |                     2                 2        
   | /     ___       ___\                           
   | |-2*\/ 3      \/ 3 |                           
   | |--------*x + -----|  + 1                      
   | \   3           3  /                           
   |                                                
  /                                                 
En integral
   /              
  |               
  |  2*x - 1      
- | ---------- dx 
  |  2            
  | x  - x + 1    
  |               
 /                
------------------
        2         
hacemos el cambio
     2    
u = x  - x
entonces
integral =
   /                        
  |                         
  |   1                     
- | ----- du                
  | 1 + u                   
  |                         
 /              -log(1 + u) 
------------- = ------------
      2              2      
hacemos cambio inverso
   /                                  
  |                                   
  |  2*x - 1                          
- | ---------- dx                     
  |  2                                
  | x  - x + 1                        
  |                      /     2    \ 
 /                   -log\1 + x  - x/ 
------------------ = -----------------
        2                    2        
En integral
    /                            
   |                             
   |             1               
2* | ------------------------- dx
   |                     2       
   | /     ___       ___\        
   | |-2*\/ 3      \/ 3 |        
   | |--------*x + -----|  + 1   
   | \   3           3  /        
   |                             
  /                              
hacemos el cambio
      ___         ___
    \/ 3    2*x*\/ 3 
v = ----- - ---------
      3         3    
entonces
integral =
    /                     
   |                      
   |   1                  
2* | ------ dv = 2*atan(v)
   |      2               
   | 1 + v                
   |                      
  /                       
hacemos cambio inverso
    /                                                              
   |                                          /    ___         ___\
   |             1                    ___     |  \/ 3    2*x*\/ 3 |
2* | ------------------------- dx = \/ 3 *atan|- ----- + ---------|
   |                     2                    \    3         3    /
   | /     ___       ___\                                          
   | |-2*\/ 3      \/ 3 |                                          
   | |--------*x + -----|  + 1                                     
   | \   3           3  /                                          
   |                                                               
  /                                                                
La solución:
       /     2    \             /    ___         ___\
    log\1 + x  - x/     ___     |  \/ 3    2*x*\/ 3 |
C - --------------- + \/ 3 *atan|- ----- + ---------|
           2                    \    3         3    /
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                    
 |                        /     2    \             /    ___           \
 |   2 - x             log\1 + x  - x/     ___     |2*\/ 3 *(-1/2 + x)|
 | ---------- dx = C - --------------- + \/ 3 *atan|------------------|
 |  2                         2                    \        3         /
 | x  - x + 1                                                          
 |                                                                     
/                                                                      
$$\int \frac{2 - x}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\, dx = C - \frac{\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x - \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}$$
Gráfica
Respuesta [src]
     ___
pi*\/ 3 
--------
   3    
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{3}$$
=
=
     ___
pi*\/ 3 
--------
   3    
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{3}$$
pi*sqrt(3)/3
Respuesta numérica [src]
1.81379936423422
1.81379936423422

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.