Sr Examen

Integral de xarcsinsqrtx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                 
  /                 
 |                  
 |        /  ___\   
 |  x*asin\\/ x / dx
 |                  
/                   
0                   
$$\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\, dx$$
Integral(x*asin(sqrt(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. que .

    Luego que y ponemos :

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      1. Usamos la integración por partes:

        que y que .

        Entonces .

        Para buscar :

        1. Integral es when :

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**4, substep=RewriteRule(rewritten=(1/2 - cos(2*_theta)/2)**2, substep=AlternativeRule(alternatives=[RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)**2/4 - cos(2*_theta)/2 + 1/4, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(2*_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(4*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=cos(4*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(4*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2/4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/4, context=1/4, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)**2/4 - cos(2*_theta)/2 + 1/4, symbol=_theta), context=(1/2 - cos(2*_theta)/2)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)**2/4 - cos(2*_theta)/2 + 1/4, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(2*_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(4*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=cos(4*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(4*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2/4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/4, context=1/4, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)**2/4 - cos(2*_theta)/2 + 1/4, symbol=_theta), context=(1/2 - cos(2*_theta)/2)**2, symbol=_theta)], context=(1/2 - cos(2*_theta)/2)**2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**4, symbol=_theta), restriction=(_u > -1) & (_u < 1), context=_u**4/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

        Por lo tanto, el resultado es:

      Por lo tanto, el resultado es:

    Si ahora sustituir más en:

  2. Ahora simplificar:

  3. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
                          /      /  ___\     ___   _______     ___   _______                                                   
                          |3*asin\\/ x /   \/ x *\/ 1 - x    \/ x *\/ 1 - x *(1 - 2*x)                                         
  /                       <------------- - --------------- + -------------------------  for And(x >= 0, x < 1)                 
 |                        |      8                2                      8                                        2     /  ___\
 |       /  ___\          \                                                                                      x *asin\\/ x /
 | x*asin\\/ x / dx = C - ------------------------------------------------------------------------------------ + --------------
 |                                                                 2                                                   2       
/                                                                                                                              
$$\int x \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2} - \frac{\begin{cases} \frac{\sqrt{x} \left(1 - 2 x\right) \sqrt{1 - x}}{8} - \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 - x}}{2} + \frac{3 \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}}{8} & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}}{2}$$
Gráfica
Respuesta [src]
5*pi
----
 32 
$$\frac{5 \pi}{32}$$
=
=
5*pi
----
 32 
$$\frac{5 \pi}{32}$$
5*pi/32
Respuesta numérica [src]
0.490873852123405
0.490873852123405

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.