Integral de 1/x(lnx-1)^3 dx

Ha introducido [src]

 oo                 
  /                 
 |                  
 |              3   
 |  (log(x) - 1)    
 |  ------------- dx
 |        x         
 |                  
/                   
E

\int\limits_{e}^{\infty} \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}{x}\, dx

Integral((log(x) - 1)^3/x, (x, E, oo))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \frac{1}{x}$ .
  
  Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du$
    1. que $u = \frac{1}{u}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}^{3} - 3 \log{\left(u \right)}^{2} + 3 \log{\left(u \right)} - 1}{u}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(u \right)}^{3} - 3 \log{\left(u \right)}^{2} + 3 \log{\left(u \right)} - 1}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(u \right)}^{3} - 3 \log{\left(u \right)}^{2} + 3 \log{\left(u \right)} - 1}{u}\, du$
      
      que $u = \log{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 3 u^{2}\right)\, du = - 3 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- u^{3}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 3 u\, du = 3 \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{2}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(-1\right)\, du = - u$
      
      El resultado es: $\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{3 u^{2}}{2} - u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\log{\left(u \right)}^{4}}{4} - \log{\left(u \right)}^{3} + \frac{3 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} - \log{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}^{4}}{4} + \log{\left(u \right)}^{3} - \frac{3 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} + \log{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\log{\left(u \right)}^{4}}{4} - \log{\left(u \right)}^{3} - \frac{3 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} - \log{\left(u \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}^{4}}{4} + \log{\left(u \right)}^{3} + \frac{3 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} + \log{\left(u \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} - \log{\left(x \right)}^{3} + \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \log{\left(x \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{3} - 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} - 1}{x}$
2. que $u = \frac{1}{x}$ .
  
  Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du$
    1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(- u^{3} + 3 u^{2} - 3 u + 1\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $u^{3}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 3 u\right)\, du = - 3 \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{4}}{4} + u^{3} - \frac{3 u^{2}}{2} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} - \log{\left(x \right)}^{3} + \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \log{\left(x \right)}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x} - \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{x} + \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{x}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \frac{1}{x}$ .
    
    Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du$
      
      que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{3}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{x}\right)\, dx = - 3 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx$
    1. que $u = \frac{1}{x}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du$
      
      que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}^{3}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 3 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$
    1. que $u = \frac{1}{x}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$
      
      que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$
    1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$
  El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} - \log{\left(x \right)}^{3} + \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \log{\left(x \right)}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{3} - 4 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 4\right) \log{\left(x \right)}}{4}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{3} - 4 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 4\right) \log{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{3} - 4 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 4\right) \log{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                             
 |                                                              
 |             3                                4           2   
 | (log(x) - 1)              3               log (x)   3*log (x)
 | ------------- dx = C - log (x) - log(x) + ------- + ---------
 |       x                                      4          2    
 |                                                              
/

\int \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}{x}\, dx = C + \frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} - \log{\left(x \right)}^{3} + \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \log{\left(x \right)}

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

oo

\infty

=

oo

\infty

oo

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de 1/x(lnx-1)^3 dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3