Integral de sin(w*t+x)*x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \sin{\left(t w + x \right)} = x \sin{\left(t w + x \right)}$

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(t w + x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = t w + x$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \cos{\left(t w + x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \cos{\left(t w + x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(t w + x \right)}\, dx$

      1. que $u = t w + x$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sin{\left(t w + x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(t w + x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(t w + x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = t w + x$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \cos{\left(t w + x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \cos{\left(t w + x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(t w + x \right)}\, dx$

      1. que $u = t w + x$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sin{\left(t w + x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(t w + x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- x \cos{\left(t w + x \right)} + \sin{\left(t w + x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x \cos{\left(t w + x \right)} + \sin{\left(t w + x \right)}+ \mathrm{constant}$