Integral de (2соs2x+1/3sinx/3) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\frac{1}{3} \sin{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}\, dx}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(x \right)}\, dx}{3}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sin{\left(2 x \right)}$

   El resultado es: $\sin{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{9}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\sin{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sin{\left(2 x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$