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Resolución de integrales/ e^(-x/2)/ x^(k/2)-1*e^(-x/2)

Integral de x^(k/2)-1*e^(-x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |  / k    -x \   
 |  | -    ---|   
 |  | 2     2 |   
 |  \x  - E   / dx
 |                
/                 
0
∫01(−e(−1)x2+xk2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} + x^{\frac{k}{2}}\right)\, dx 
Integral(x^(k/2) - E^((-x)/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−e(−1)x2) dx=−∫e(−1)x2 dx\int \left(- e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right)\, dx = - \int e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\, dx

      1. que u=(−1)x2u = \frac{\left(-1\right) x}{2}.

        Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

        ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2e(−1)x2- 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 2e(−1)x22 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫xk2 dx={xk2+1k2+1for k2≠−1log⁡(x)otherwese\int x^{\frac{k}{2}}\, dx = \begin{cases} \frac{x^{\frac{k}{2} + 1}}{\frac{k}{2} + 1} & \text{for}\: \frac{k}{2} \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

    El resultado es: {xk2+1k2+1for k2≠−1log⁡(x)otherwese+2e(−1)x2\begin{cases} \frac{x^{\frac{k}{2} + 1}}{\frac{k}{2} + 1} & \text{for}\: \frac{k}{2} \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases} + 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}

  2. Ahora simplificar:

    {2(k+xk2+1ex2+2)e−x2k+2for k≠−2log⁡(x)+2e−x2otherwese\begin{cases} \frac{2 \left(k + x^{\frac{k}{2} + 1} e^{\frac{x}{2}} + 2\right) e^{- \frac{x}{2}}}{k + 2} & \text{for}\: k \neq -2 \\\log{\left(x \right)} + 2 e^{- \frac{x}{2}} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {2(k+xk2+1ex2+2)e−x2k+2for k≠−2log⁡(x)+2e−x2otherwese+constant\begin{cases} \frac{2 \left(k + x^{\frac{k}{2} + 1} e^{\frac{x}{2}} + 2\right) e^{- \frac{x}{2}}}{k + 2} & \text{for}\: k \neq -2 \\\log{\left(x \right)} + 2 e^{- \frac{x}{2}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{2(k+xk2+1ex2+2)e−x2k+2for k≠−2log⁡(x)+2e−x2otherwese+constant\begin{cases} \frac{2 \left(k + x^{\frac{k}{2} + 1} e^{\frac{x}{2}} + 2\right) e^{- \frac{x}{2}}}{k + 2} & \text{for}\: k \neq -2 \\\log{\left(x \right)} + 2 e^{- \frac{x}{2}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                              //     k             \
 |                               || 1 + -             |
 | / k    -x \             -x    ||     2             |
 | | -    ---|             ---   ||x           k      |
 | | 2     2 |              2    ||------  for - != -1|
 | \x  - E   / dx = C + 2*e    + |<    k       2      |
 |                               ||1 + -              |
/                                ||    2              |
                                 ||                   |
                                 ||log(x)   otherwise |
                                 \\                   /
∫(−e(−1)x2+xk2) dx=C+{xk2+1k2+1for k2≠−1log⁡(x)otherwise+2e(−1)x2\int \left(- e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} + x^{\frac{k}{2}}\right)\, dx = C + \begin{cases} \frac{x^{\frac{k}{2} + 1}}{\frac{k}{2} + 1} & \text{for}\: \frac{k}{2} \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases} + 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}
Simplificar
Respuesta [src] 
               //             k                                   \
               ||         1 + -                                   |
               ||             2                                   |
               ||  1     0                                        |
        -1/2   ||----- - ------  for And(k > -oo, k < oo, k != -2)|
-2 + 2*e     + |<    k       k                                    |
               ||1 + -   1 + -                                    |
               ||    2       2                                    |
               ||                                                 |
               ||      oo                    otherwise            |
               \\                                                 /
{−0k2+1k2+1+1k2+1for k>−∞∧k<∞∧k≠−2∞otherwise−2+2e12\begin{cases} - \frac{0^{\frac{k}{2} + 1}}{\frac{k}{2} + 1} + \frac{1}{\frac{k}{2} + 1} & \text{for}\: k > -\infty \wedge k < \infty \wedge k \neq -2 \\\infty & \text{otherwise} \end{cases} - 2 + \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} 
=
= 
               //             k                                   \
               ||         1 + -                                   |
               ||             2                                   |
               ||  1     0                                        |
        -1/2   ||----- - ------  for And(k > -oo, k < oo, k != -2)|
-2 + 2*e     + |<    k       k                                    |
               ||1 + -   1 + -                                    |
               ||    2       2                                    |
               ||                                                 |
               ||      oo                    otherwise            |
               \\                                                 /
{−0k2+1k2+1+1k2+1for k>−∞∧k<∞∧k≠−2∞otherwise−2+2e12\begin{cases} - \frac{0^{\frac{k}{2} + 1}}{\frac{k}{2} + 1} + \frac{1}{\frac{k}{2} + 1} & \text{for}\: k > -\infty \wedge k < \infty \wedge k \neq -2 \\\infty & \text{otherwise} \end{cases} - 2 + \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} 
-2 + 2*exp(-1/2) + Piecewise((1/(1 + k/2) - 0^(1 + k/2)/(1 + k/2), (k > -oo)∧(k < oo)∧(Ne(k, -2))), (oo, True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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