Integral de √2/√π*√arctg2x/1+4x² dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\pi \frac{\sqrt{2}}{t} \left(\sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)^{2}}{1}\, dx = \int \frac{\sqrt{2} \pi \left(\sqrt{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)^{2}}{t}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{\sqrt{2} \pi \left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}\right)}{t}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \pi \left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}\right)}{t}$

   El resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3} + \frac{\sqrt{2} \pi \left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}\right)}{t}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{16 t x^{3} + 3 \sqrt{2} \pi \left(4 x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}\right)}{12 t}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{16 t x^{3} + 3 \sqrt{2} \pi \left(4 x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}\right)}{12 t}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{16 t x^{3} + 3 \sqrt{2} \pi \left(4 x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}\right)}{12 t}+ \mathrm{constant}$