Integral de ax(1-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(a u^{2} + a u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2} a\, du = a \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} a}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u a\, du = a \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} a}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{3} a}{3} + \frac{u^{2} a}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{a x^{3}}{3} + \frac{a x^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $a x \left(1 - x\right) = - a x^{2} + a x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- a x^{2}\right)\, dx = - a \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{a x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int a x\, dx = a \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a x^{2}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{a x^{3}}{3} + \frac{a x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{a x^{2} \left(3 - 2 x\right)}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{a x^{2} \left(3 - 2 x\right)}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{a x^{2} \left(3 - 2 x\right)}{6}+ \mathrm{constant}$