Integral de x^2(5-x^3)^8 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 - x^{3}$.

      Luego que $du = - 3 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{u^{8}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{8}\, du = - \frac{\int u^{8}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{27}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(5 - x^{3}\right)^{9}}{27}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(5 - x^{3}\right)^{8} = x^{26} - 40 x^{23} + 700 x^{20} - 7000 x^{17} + 43750 x^{14} - 175000 x^{11} + 437500 x^{8} - 625000 x^{5} + 390625 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 40 x^{23}\right)\, dx = - 40 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{24}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 700 x^{20}\, dx = 700 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{100 x^{21}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 7000 x^{17}\right)\, dx = - 7000 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3500 x^{18}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 43750 x^{14}\, dx = 43750 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8750 x^{15}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 175000 x^{11}\right)\, dx = - 175000 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{43750 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 437500 x^{8}\, dx = 437500 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{437500 x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 625000 x^{5}\right)\, dx = - 625000 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{312500 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 390625 x^{2}\, dx = 390625 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{390625 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{27}}{27} - \frac{5 x^{24}}{3} + \frac{100 x^{21}}{3} - \frac{3500 x^{18}}{9} + \frac{8750 x^{15}}{3} - \frac{43750 x^{12}}{3} + \frac{437500 x^{9}}{9} - \frac{312500 x^{6}}{3} + \frac{390625 x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{3} - 5\right)^{9}}{27}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{3} - 5\right)^{9}}{27}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{3} - 5\right)^{9}}{27}+ \mathrm{constant}$