Integral de (e^(2*x)-e^x)/(e^x+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - e^{x}$.

      Luego que $du = - e^{x} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u + 1}{u - 1}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u + 1}{u - 1}\, du = - \int \frac{u + 1}{u - 1}\, du$

         1. que $u = u - 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u + 2}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 2}{u} = 1 + \frac{2}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u + 2 \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $u + 2 \log{\left(u - 1 \right)} - 1$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u - 2 \log{\left(u - 1 \right)} + 1$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x} - 2 \log{\left(- e^{x} - 1 \right)} + 1$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- e^{x} + e^{2 x}}{e^{x} + 1} = \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1} - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u}{u + 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

            El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx$

         1. que $u = e^{x} + 1$.

            Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

      El resultado es: $e^{x} - 2 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $e^{x} - 2 \log{\left(- e^{x} - 1 \right)} + 1$

3. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x} - 2 \log{\left(- e^{x} - 1 \right)} + 1+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x} - 2 \log{\left(- e^{x} - 1 \right)} + 1+ \mathrm{constant}$