Integral de (3x-2)^20dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x - 2$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{20}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{20}\, du = \frac{\int u^{20}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{21}}{63}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x - 2\right)^{21}}{63}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x - 2\right)^{20} = 3486784401 x^{20} - 46490458680 x^{19} + 294439571640 x^{18} - 1177758286560 x^{17} + 3336981811920 x^{16} - 7118894532096 x^{15} + 11864824220160 x^{14} - 15819765626880 x^{13} + 17138079429120 x^{12} - 15233848381440 x^{11} + 11171488813056 x^{10} - 6770599280640 x^{9} + 3385299640320 x^{8} - 1388840878080 x^{7} + 462946959360 x^{6} - 123452522496 x^{5} + 25719275520 x^{4} - 4034396160 x^{3} + 448266240 x^{2} - 31457280 x + 1048576$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3486784401 x^{20}\, dx = 3486784401 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1162261467 x^{21}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 46490458680 x^{19}\right)\, dx = - 46490458680 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2324522934 x^{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 294439571640 x^{18}\, dx = 294439571640 \int x^{18}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $15496819560 x^{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1177758286560 x^{17}\right)\, dx = - 1177758286560 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 65431015920 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3336981811920 x^{16}\, dx = 3336981811920 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $196293047760 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 7118894532096 x^{15}\right)\, dx = - 7118894532096 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 444930908256 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11864824220160 x^{14}\, dx = 11864824220160 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $790988281344 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 15819765626880 x^{13}\right)\, dx = - 15819765626880 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7909882813440 x^{14}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 17138079429120 x^{12}\, dx = 17138079429120 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1318313802240 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 15233848381440 x^{11}\right)\, dx = - 15233848381440 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1269487365120 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11171488813056 x^{10}\, dx = 11171488813056 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1015589892096 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6770599280640 x^{9}\right)\, dx = - 6770599280640 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 677059928064 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3385299640320 x^{8}\, dx = 3385299640320 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $376144404480 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1388840878080 x^{7}\right)\, dx = - 1388840878080 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 173605109760 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 462946959360 x^{6}\, dx = 462946959360 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{462946959360 x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 123452522496 x^{5}\right)\, dx = - 123452522496 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 20575420416 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 25719275520 x^{4}\, dx = 25719275520 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5143855104 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4034396160 x^{3}\right)\, dx = - 4034396160 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1008599040 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 448266240 x^{2}\, dx = 448266240 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $149422080 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 31457280 x\right)\, dx = - 31457280 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 15728640 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1048576\, dx = 1048576 x$

      El resultado es: $\frac{1162261467 x^{21}}{7} - 2324522934 x^{20} + 15496819560 x^{19} - 65431015920 x^{18} + 196293047760 x^{17} - 444930908256 x^{16} + 790988281344 x^{15} - \frac{7909882813440 x^{14}}{7} + 1318313802240 x^{13} - 1269487365120 x^{12} + 1015589892096 x^{11} - 677059928064 x^{10} + 376144404480 x^{9} - 173605109760 x^{8} + \frac{462946959360 x^{7}}{7} - 20575420416 x^{6} + 5143855104 x^{5} - 1008599040 x^{4} + 149422080 x^{3} - 15728640 x^{2} + 1048576 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x - 2\right)^{21}}{63}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x - 2\right)^{21}}{63}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x - 2\right)^{21}}{63}+ \mathrm{constant}$