Integral de 5(cos(z/3)-sin3z) dz

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 5 \left(- \sin{\left(3 z \right)} + \cos{\left(\frac{z}{3} \right)}\right)\, dz = 5 \int \left(- \sin{\left(3 z \right)} + \cos{\left(\frac{z}{3} \right)}\right)\, dz$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin{\left(3 z \right)}\right)\, dz = - \int \sin{\left(3 z \right)}\, dz$

         1. que $u = 3 z$.

            Luego que $du = 3 dz$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(3 z \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(3 z \right)}}{3}$

      1. que $u = \frac{z}{3}$.

         Luego que $du = \frac{dz}{3}$ y ponemos $3 du$:

         $\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 \sin{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $3 \sin{\left(\frac{z}{3} \right)}$

      El resultado es: $3 \sin{\left(\frac{z}{3} \right)} + \frac{\cos{\left(3 z \right)}}{3}$

   Por lo tanto, el resultado es: $15 \sin{\left(\frac{z}{3} \right)} + \frac{5 \cos{\left(3 z \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $15 \sin{\left(\frac{z}{3} \right)} + \frac{5 \cos{\left(3 z \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $15 \sin{\left(\frac{z}{3} \right)} + \frac{5 \cos{\left(3 z \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$15 \sin{\left(\frac{z}{3} \right)} + \frac{5 \cos{\left(3 z \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$