Integral de 1-e^(-x-1) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- e^{- x - 1}\right)\, dx = - \int e^{- x - 1}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = - x - 1$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{- x - 1}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $e^{- x - 1} = \frac{e^{- x}}{e}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{- x}}{e}\, dx = \frac{\int e^{- x}\, dx}{e}$

            1. que $u = - x$.

               Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{- x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{- x}}{e}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $e^{- x - 1} = \frac{e^{- x}}{e}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{- x}}{e}\, dx = \frac{\int e^{- x}\, dx}{e}$

            1. que $u = - x$.

               Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{- x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{- x}}{e}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e^{- x - 1}$

   El resultado es: $x + e^{- x - 1}$

2. Ahora simplificar:

   $x + e^{- x - 1}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x + e^{- x - 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + e^{- x - 1}+ \mathrm{constant}$