Integral de (3x-2)^12dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x - 2$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{12}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{12}\, du = \frac{\int u^{12}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{13}}{39}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x - 2\right)^{13}}{39}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x - 2\right)^{12} = 531441 x^{12} - 4251528 x^{11} + 15588936 x^{10} - 34642080 x^{9} + 51963120 x^{8} - 55427328 x^{7} + 43110144 x^{6} - 24634368 x^{5} + 10264320 x^{4} - 3041280 x^{3} + 608256 x^{2} - 73728 x + 4096$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 531441 x^{12}\, dx = 531441 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{531441 x^{13}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4251528 x^{11}\right)\, dx = - 4251528 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 354294 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15588936 x^{10}\, dx = 15588936 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1417176 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 34642080 x^{9}\right)\, dx = - 34642080 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3464208 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 51963120 x^{8}\, dx = 51963120 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5773680 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 55427328 x^{7}\right)\, dx = - 55427328 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6928416 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 43110144 x^{6}\, dx = 43110144 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6158592 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 24634368 x^{5}\right)\, dx = - 24634368 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4105728 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10264320 x^{4}\, dx = 10264320 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2052864 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3041280 x^{3}\right)\, dx = - 3041280 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 760320 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 608256 x^{2}\, dx = 608256 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $202752 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 73728 x\right)\, dx = - 73728 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 36864 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4096\, dx = 4096 x$

      El resultado es: $\frac{531441 x^{13}}{13} - 354294 x^{12} + 1417176 x^{11} - 3464208 x^{10} + 5773680 x^{9} - 6928416 x^{8} + 6158592 x^{7} - 4105728 x^{6} + 2052864 x^{5} - 760320 x^{4} + 202752 x^{3} - 36864 x^{2} + 4096 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x - 2\right)^{13}}{39}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x - 2\right)^{13}}{39}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x - 2\right)^{13}}{39}+ \mathrm{constant}$