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Resolución de integrales/ sin2x/ cos2x/ 1/2*x/ 1/2*x+sin2x/2-cos2x/2

Integral de 1/2*x+sin2x/2-cos2x/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                             
  /                             
 |                              
 |  /x   sin(2*x)   cos(2*x)\   
 |  |- + -------- - --------| dx
 |  \2      2          2    /   
 |                              
/                               
0
∫01((x2+sin⁡(2x)2)−cos⁡(2x)2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx 
Integral(x/2 + sin(2*x)/2 - cos(2*x)/2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Método #2

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Método #2

              1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫u du\int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: x24−cos⁡(2x)4\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    El resultado es: x24−sin⁡(2x)4−cos⁡(2x)4\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    x24−2sin⁡(2x+π4)4\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x24−2sin⁡(2x+π4)4+constant\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x24−2sin⁡(2x+π4)4+constant\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
 |                                                           2
 | /x   sin(2*x)   cos(2*x)\          cos(2*x)   sin(2*x)   x 
 | |- + -------- - --------| dx = C - -------- - -------- + --
 | \2      2          2    /             4          4       4 
 |                                                            
/
∫((x2+sin⁡(2x)2)−cos⁡(2x)2) dx=C+x24−sin⁡(2x)4−cos⁡(2x)4\int \left(\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = C + \frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1   cos(2)   sin(2)
- - ------ - ------
2     4        4
−sin⁡(2)4−cos⁡(2)4+12- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{1}{2} 
=
= 
1   cos(2)   sin(2)
- - ------ - ------
2     4        4
−sin⁡(2)4−cos⁡(2)4+12- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{1}{2} 
1/2 - cos(2)/4 - sin(2)/4
Respuesta numérica [src] 
0.376712352430365
0.376712352430365

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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